Ayer, 6 de octubre de 2026 OpenAI publicó de golpe una cantidad de material matemático difícil de comparar con una publicación científica convencional. El repositorio público openai/math contiene, a 7 de octubre, 722 papers agrupados en 372 familias de resultados. La distinción importa: una familia puede incluir un resultado principal, pruebas alternativas, consecuencias y trabajos auxiliares, de modo que sería incorrecto decir que la empresa ha “resuelto 722 problemas”. Según el propio repositorio, durante la evaluación se plantearon al modelo (un modelo interno que aún no está comercializado) aproximadamente 4.000 problemas y la mayor parte de los resultados se obtuvo con un procedimiento común; el consumo medio por resultado fue equivalente a unas tres horas de razonamiento de ChatGPT Pro. OpenAI ha publicado además un resumen de la colección, un mapa de los papers y el catálogo de formalizaciones en Lean. Voy a comentar esta publicación histórica y después elegiré 12 de los problemas resueltos para comentarlos un poco más en detalle.
La escala llama la atención, pero es que además son problemas de alto nivel. En la colección aparecen teoría de números, geometría algebraica, combinatoria, análisis armónico, geometría convexa, complejidad computacional, ecuaciones en derivadas parciales, física matemática y muchos otros campos. Hay problemas relativamente recientes y otros que llevan abiertos décadas. Hay resultados totales y parciales. Algunos cierran conjeturas muy concretas; otros avanzan sobre cuestiones que siguen abiertas en su forma general. Y varios, si terminan resistiendo el escrutinio de la comunidad, tienen una importancia que en manos de un matemático humano joven sería razonable describir como talla Fields. No porque una medalla Fields se conceda automáticamente por resolver un problema concreto -no funciona así-, sino porque la profundidad y centralidad de varios de estos resultados encajan en el tipo de logros extraordinarios que la medalla pretende reconocer.
El 8 de septiembre OpenAI había anunciado una solución al problema del Milenio de Navier–Stokes, acompañada de una demostración formalizada en Lean. Según la propia empresa, el mismo modelo interno que produjo aquel resultado ha sido el encargado de estos cientos de problemas abiertos. Conviene separar anuncio y aceptación definitiva: el Clay Mathematics Institute tiene sus propios procedimientos y plazos, y una publicación de OpenAI no equivale a la adjudicación de un premio. Pero el salto de escala es evidente. Navier–Stokes no ha sido un acontecimiento excepcional; un mes después, el contexto es una colección de centenares de papers.
Qué significa que una prueba esté “formalizada en Lean”
Una parte importante del repositorio viene acompañada de pruebas en Lean, un asistente de demostración. Simplificando, una demostración tradicional está escrita para que la lean otros matemáticos, que deben comprobar si cada argumento es válido y si no se ha ocultado un salto lógico. Una formalización traduce el enunciado y su prueba a un lenguaje extremadamente preciso que un verificador puede comprobar paso a paso.
Eso supone una garantía muy fuerte, pero no definitiva. Una prueba formal puede demostrar correctamente un teorema que no sea exactamente el que creíamos estar formalizando; puede haber un desajuste entre el enunciado informal y el formal, una hipótesis introducida de forma inadvertida o, en un nivel todavía más básico, errores en la infraestructura de software. En la práctica, una formalización bien hecha reduce muchísimo el espacio para los errores lógicos ordinarios, pero no sustituye la revisión matemática y conceptual.
La cautela es especialmente importante aquí porque el propio OpenAI la pide. En el README del repositorio se afirma expresamente que la colección contiene resultados en distintos estados de verificación, que no todos tienen formalización y que algunos de los resultados no formalizados podrían contener errores. La empresa anuncia que seguirá corrigiendo papers y añadiendo formalizaciones. Este artículo es, por tanto, una fotografía del estado del repositorio el 7 de octubre de 2026, apenas un día después de la publicación general. Las etiquetas “formalizado” y “no formalizado” pueden cambiar.
También conviene distinguir entre resultado completo y avance parcial. En esta selección que presento aquí hay ocho resultados que, según el catálogo de OpenAI, cubren por completo la cuestión concreta que se anuncia, y cuatro que dejan abierto un problema más general. Los tres resultados relacionados con problemas del Milenio —Riemann, Hodge y Birch–Swinnerton-Dyer— pertenecen a este segundo grupo. No resuelven los tres problemas del Milenio, pero, de confirmarse, sí constituyen avances de primera magnitud hacia ellos.
De los cientos de resultados de la colección he seleccionado doce. No pretenden formar un ranking y podrían haberse elegido otros. El criterio ha sido combinar relevancia, variedad matemática, posibilidad de explicarlos sin exigir una especialización avanzada y, cuando existe, formalización mecánica. Empezaremos por los tres relacionados con problemas del Milenio, que seguro que darán más que hablar. Soy consciente de que estos tres son más complicados de explicar y no quiero extenderme mucho, así que os añado los vídeos de Mates Mike para los problemas del Milenio que los explican de maravilla.
Los doce problemas, uno por uno
1. Una “cuasi-hipótesis de Riemann”: una región sin ceros más amplia
Estado: resultado parcial respecto de la hipótesis de Riemann. Formalizado en Lean.
La hipótesis de Riemann relaciona la distribución de los números primos con los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Afirma que todos esos ceros tienen parte real exactamente 1/2.
El resultado de OpenAI no demuestra la hipótesis completa, pero establece una región libre de ceros para Re(s) > 7/8, y además extiende el alcance a funciones L de Dirichlet. Excluir ceros de una región amplia y uniforme es un avance estructural importante en teoría analítica de números. La hipótesis original data de 1859 y es uno de los siete problemas del Milenio. Por eso, si la prueba se confirma, este resultado parcial tendría un peso excepcional.
Paper de OpenAI · Descripción del problema por el Clay Mathematics Institute
2. Hodge para variedades abelianas CM y productos de superficies K3
Estado: resultado parcial respecto de la conjetura de Hodge general. Sin formalización Lean en el catálogo actual.
La conjetura de Hodge pregunta, de forma muy resumida, si ciertas clases topológicas y analíticas que aparecen en variedades algebraicas complejas proceden realmente de objetos algebraicos: combinaciones racionales de subvariedades llamadas ciclos algebraicos.
OpenAI no anuncia una solución general, sino la versión racional para dos familias importantes: variedades abelianas de tipo CM y productos de superficies K3. Son clases con mucha estructura y gran interés propio, pero no abarcan todas las variedades algebraicas.
La conjetura fue formulada a mediados del siglo XX y es también un problema del Milenio. Resolver familias enteras relevantes sería un avance profundo, aunque la conjetura general siga abierta.
Paper obre variedades abelianas CM · Paper sobre productos de K3 · Clay sobre la conjetura de Hodge
3. Birch–Swinnerton-Dyer en corangos de Selmer 0 y 1
Estado: resultado parcial respecto de la conjetura general de Birch–Swinnerton-Dyer. Sin formalización Lean en el catálogo actual.
Las curvas elípticas pueden escribirse, en una forma típica, como y² = x³ + ax + b. Sus puntos racionales poseen una operación de suma y forman una estructura algebraica cuyo rango mide, simplificando, cuántas direcciones independientes de soluciones racionales hay. La conjetura de Birch–Swinnerton-Dyer conecta esa información aritmética con una función L asociada a la curva.
El resultado de OpenAI demuestra la fórmula completa de BSD para curvas sobre Q cuyo grupo de Selmer de potencias de algún primo tiene corango 0 o 1. Es un resultado parcial respecto de BSD general, pero los rangos bajos ocupan una zona central de la teoría de curvas elípticas. BSD es otro de los problemas del Milenio, de modo que, si se confirma, el avance sería de primer nivel.
Paper de OpenAI · Clay sobre Birch–Swinnerton-Dyer
4. El exponente de irracionalidad de π es exactamente 2
Estado: solución completa del problema. Formalizado en Lean.
Saber que π es irracional solo dice que no es una fracción exacta. El exponente de irracionalidad mide algo más fino: hasta qué punto puede aproximarse mediante fracciones p/q cuando q crece. Todo irracional tiene exponente al menos 2; algunos números pueden tenerlo mucho mayor.
El resultado afirma que el exponente de π es exactamente 2. Eso significa que, aunque existan aproximaciones concretas muy buenas -como 355/113-, no aparecen infinitamente muchas aproximaciones esencialmente mejores que el orden 1/q².
Es una cuestión clásica y muy fácil de enunciar. Determina con precisión la calidad asintótica de sus aproximaciones racionales. Cuánto nos podemos acercar a π desde los números racionales.
Formalización Lean · Paper de OpenAI
5. El plano no puede colorearse con cinco colores
Estado: avance parcial en el problema de Hadwiger–Nelson. Formalizado en Lean.
El problema de Hadwiger–Nelson pregunta cuántos colores hacen falta para colorear todos los puntos del plano de forma que dos puntos separados exactamente una unidad nunca tengan el mismo color.
Durante décadas se supo que 4 colores eran insuficientes y que 7 bastaban; en 2018 se elevó la cota inferior a 5. El resultado de OpenAI da un paso más: demuestra que 5 tampoco bastan. Por tanto, el número cromático del plano queda reducido a 6 o 7.
Es un avance parcial, no la solución definitiva.
Formalización Lean ·Paper de OpenAI · Explicación en Wikipedia
6. Las conjeturas de Mahler sobre cuerpos convexos
Estado: solución completa de las versiones simétrica y general anunciadas. La versión simétrica está formalizada en Lean; sin formalización de la versión general en el catálogo actual.
A un cuerpo convexo puede asociársele un cuerpo polar o dual. Mahler estudió el producto entre el volumen de un cuerpo y el de su polar, una cantidad que permanece estable frente a simples cambios de escala y captura una forma profunda de dualidad geométrica.
Las conjeturas de Mahler, formuladas en 1939, predicen cuáles son los mínimos posibles de ese producto. Existe una versión para cuerpos simétricos respecto del origen y otra general. OpenAI anuncia demostraciones de ambas; la versión simétrica figura además formalizada en Lean. Es un problema central de geometría convexa, con conexiones con análisis funcional, desigualdades geométricas y teoría de la dualidad.
Paper de la versión simétrica · Paper de la versión general
7. Unique Games: de conjetura a teorema
Estado: solución completa del problema. Formalizado en Lean.
Unique Games puede imaginarse como un problema de etiquetado sobre un grafo: cada vértice recibe una etiqueta y cada arista impone una correspondencia exacta entre las etiquetas de sus extremos. La cuestión es cuántas restricciones pueden satisfacerse simultáneamente. La conjetura de Khot, formulada en 2002, afirma en esencia que es computacionalmente muy difícil distinguir instancias casi satisfacibles de otras en las que solo puede satisfacerse una fracción pequeña de restricciones.
OpenAI anuncia una demostración completa y formalizada en Lean. La importancia viene de sus consecuencias para la dificultad de aproximar muchos problemas de optimización combinatoria.
Formalización Lean · Paper de OpenAI · Programa del Simons Institute sobre restricciones locales
8. La conjetura de distancias de Falconer
Estado: solución completa del problema para dimensiones d ≥ 2. Formalizado en Lean.
Dado un conjunto E del espacio, podemos considerar todas las distancias entre pares de sus puntos, Δ(E) = {|x − y| : x, y ∈ E}. La conjetura de Falconer pregunta cuándo un conjunto fractal suficientemente grande obliga a que ese conjunto de distancias tenga medida positiva. La condición se expresa mediante la dimensión de Hausdorff: por encima de cierto umbral, Falconer predice que las distancias no pueden concentrarse en un conjunto demasiado pequeño.
OpenAI anuncia la demostración para todas las dimensiones d ≥ 2 y el resultado aparece formalizado en Lean. Formulada en 1985, es una cuestión central en la intersección entre geometría fractal y análisis armónico. No debe confundirse con el problema finito de Erdős sobre distancias distintas.
Paper de OpenAI · Trabajo de Guth, Iosevich, Ou y Wang sobre el caso plano
9. Soluciones clásicas globales para Vlasov–Maxwell relativista en tres dimensiones
Estado: solución completa para el sistema de una especie y la clase de datos especificada en el resultado. Formalizado en Lean.
El sistema de Vlasov–Maxwell describe partículas cargadas que generan campos electromagnéticos y, al mismo tiempo, se mueven bajo esos campos. La versión relativista incorpora la relación de la relatividad especial entre momento y velocidad. La cuestión es si datos iniciales suaves pueden evolucionar durante todo tiempo sin desarrollar singularidades que destruyan la regularidad clásica.
OpenAI anuncia existencia global clásica en tres dimensiones para el sistema relativista de una especie y para la clase de datos especificada en el paper, sin exigir pequeñez. Es un problema importante de ecuaciones cinéticas y plasmas matemáticos. Aunque suene parecido, no tiene relación directa con el problema del Milenio de Navier–Stokes: son sistemas distintos.
Paper de OpenAI · Un resultado previo sobre datos radiales grandes
10. El décimo problema de Hilbert sobre los números racionales
Estado: solución completa del problema. Sin formalización Lean en el catálogo actual.
El décimo problema de Hilbert original preguntaba si existe un algoritmo universal que decida si una ecuación polinómica con coeficientes enteros tiene soluciones enteras. Esa versión se resolvió negativamente en 1970. La variante sobre los racionales pregunta lo mismo permitiendo soluciones fraccionarias.
El reto no es encontrar una solución cuando existe, porque se pueden ir enumerando candidatos, sino disponer de un procedimiento que también termine siempre cuando no existe ninguna.
El paper de OpenAI afirma que tal algoritmo universal sobre Q no existe. De confirmarse, cerraría una variante histórica que lleva décadas abierta y establecería un límite de principio sobre lo que puede decidir un algoritmo en aritmética diofántica (ecuaciones con números enteros).
11. La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas
Estado: solución completa del problema. Sin formalización Lean en el catálogo actual.
Una progresión aritmética es una sucesión con diferencia constante, como 5, 12, 19, 26. Erdős conjeturó que si un conjunto A de enteros positivos es lo bastante grande en el sentido de que la suma de 1/n para n en A diverge, entonces contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud finita.
La condición es más débil que exigir densidad positiva, por lo que la conjetura va más allá del teorema de Szemerédi. Los primos son un ejemplo sugerente: su suma de recíprocos diverge y Green–Tao ya demostró que contienen progresiones arbitrariamente largas.
OpenAI afirma resolver la conjetura y obtener además cotas cuantitativas. “Arbitrariamente largas” significa una progresión para cada longitud finita, no una única progresión infinita.
12. Optimalidad universal de la red triangular
Estado: solución completa de la conjetura seleccionada. Sin formalización Lean completa; el paper incluye verificaciones numéricas reproducibles para parte de los certificados.
La pregunta es cómo ordenar puntos o partículas en el plano para minimizar una energía de interacción a densidad fija. La candidata natural es la red triangular, en la que los vecinos forman triángulos equiláteros. “Universal” no significa óptima para cualquier fuerza imaginable, sino para una clase matemática precisa y amplia de potenciales completamente monótonos de la distancia al cuadrado.
OpenAI anuncia una demostración completa de esa optimalidad. El problema conecta cristalización, teoría de retículos, análisis de Fourier y optimización geométrica. De momento no aparece la formalización Lean completa, aunque el paper incluye verificaciones numéricas reproducibles para parte de las desigualdades empleadas.
Paper de OpenAI · Instrucciones de verificación numérica · Proyecto europeo sobre A₂
Todo va a cambiar
Lo dicho, he seleccionado estas como podría haber escogido otras, pero creo que son bastante relevantes. A lo largo de estos días iremos viendo lo que comentan los matemáticos más importantes del mundo, sobre cuáles son los más importantes y, sobre todo, si hay algún error. También veremos cómo lo recibe la comunidad que estaba muy cómoda con el asunto de Navier-Stokes. Veremos si aquí las citas están bien puestas. Lo que está claro es que todo va a cambiar. Hablamos de problemas en los que actualmente hay matemáticos expertos trabajando y OpenAI los ha resuelto de un plumazo. Y esto va a ir a más. El modelo que han utilizado terminará saliendo al público antes o después y como se ha indicado, para muchos de estos problemas los tiempos de computación son bastante asequibles. Esto significa que miles de matemáticos, no especialmente expertos, pueden tener pronto la posibilidad de resolver miles de problemas. ¿Cómo vamos a ser capaces de seguir este ritmo? Será importante trabajar en el clasificación, organización, comprobación. El trabajo de investigación en matemáticas ha cambiado para siempre.
